arctanx求导答案是什么
arctanx的导数:y=arctanx,x=tany,dx/dy=sec²y=tan²y+1,dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)。
证明过程
三角函数求导公式
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
反函数求导法则
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0,那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,且
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
这个结论可以简单表达为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例:设x=siny,y∈[−π2,π2]x=siny,y∈[−π2,π2]为直接导数,则y=arcsinxy=arcsinx是它的反函数,求反函数的导数.
解:函数x=sinyx=siny在区间内单调可导,f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0
因此,由公式得
(arcsinx)′=1(siny)′
(arcsinx)′=1(siny)′
=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√
=1cosy=11−sin2y=11−x2
《2》
解:y=arctanx,则x=tany
arctanx′=1/tany′
tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y
则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²
y=arctanx,所以tany=x此时等式两边都求导
得y’tany’=1则y’=1/tany’因y’=arctanx’
所以arctanx’=1/tany’
而tany’=(siny/cosy)’=(siny’cosy-sinycosy’)/cosy的平方=(cosy的平方+siny的平方)/cos的平方=1+tany的平方=1+x的平方。

导函数
如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导,就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数值,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数,记作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx,简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。
推荐
- 1什么是思考367
- 2盘锦地理位置382
- 3肖雄主演的电影蹉跎岁月109
- 4哥谭1-5季483
- 5重庆锅巴土豆的家常做法148
- 6对决拍摄地是潮州吗156
- 7云南大学旅游管理学院是公办吗123
- 8春节的诗句352
宠物
- 1萨摩耶能不能吃糖346
- 2狗拉肚子带血 可能是腹泻造成的219
- 3比利时牧羊犬挑选 最好选择一只纯种狗241
- 4狗狗有蛔虫的症状 幼犬腹部膨大发育迟缓490
- 5狗能吃人的药吗 会有哪些不良反应呢192
- 6初买的猫需要做检查吗498
- 7兔子吃什么东西 提供的食物应该全面399
- 8土霉素片狗一次吃多少150