为什么特征空间的维数小于代数重数

特征空间维数小于代数重数是因为在某些情况下，矩阵的特征值重复出现，但对应于每个特征值的特征向量不一定是线性无关的，从而导致特征空间的维数小于代数重数。

《2》

代数重数指的是方程的根的重数

几何重数指的是几何图形在该点的重数

比如(x-1)^10=0,这个方程的根为x=1,这个根是10重的,因此x=1的代数重数为10

再如一条直线与一个圆相切,那么切点的几何重数就是二,如果三条直线相交在一点,那么交点的几何重数就是三

考虑某个特征值s’的特征子空间V',V'的维数就是s’的几何重数m,再取V'的一组基（由m个线性无关的向量组成）,扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子（s-s')^m的,所以s'就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”.