数学逆否命题

数学中的命题分为四类：原命题，逆命题，否命题，和逆否命题。其中逆命题和否命题的真假性相同；原命题与逆否命题的真假性相同。例如：原命题:一个四边形是矩形，则它的对角线相等。它的逆否命题是:对角线不相等的四边形，则它一定不是矩形。它们的真假性是一样的。

《2》

【回答】你的表述犯了范畴错误（因此是伪问题），把命题逻辑范畴的术语用在词项逻辑领域。 【解释】只有对假言命题（也即能够写成条件句形式的命题，形式为“若p，则q”）这类复合命题才可以谈论它的逆命题、否命题、逆否命题。

这是在命题逻辑里谈论的。命题逻辑只考虑命题联接词（或、且、非、若…则），命题联接词将简单命题（直言命题）联接成复合命题（包括负命题、联言命题、选言命题、假言命题等）；在命题逻辑的视野里，“有的S是P”，“所有S是P”，“有的S不是P”，“所有S不是P”都是简单命题（或称“原子命题”），它只会将它们写成p、q、r、s，而对其内部结构不做分析。

而对一个简单命题（或曰直言命题、原子命题）而言，是没有所谓的逆命题、否命题、逆否命题的（除非你能够把它等价转换为“若p，则q”的形式） 词项逻辑（三段论是其证明论）才关注简单命题的内部结构，换言之，命题逻辑视为简单的命题，在词项逻辑看来并不简单，而是有内部结构，而且这些内部结构可以分类（分成A、E、I、O）并且有关联（总结为对当关系方阵）。

词项逻辑没有所谓逆否命题之说。 【延伸】当有了谓词逻辑技术之后，局面又变得不同了。

谓词逻辑也可以分析命题逻辑无法分析的简单命题，但它和词项逻辑不同的是，它把所有通名（指称一类事物的名称，比如“人”、“大学生”都是）都视为谓词，即使它在日常用语里是主词（占据主语的位置），只有单称词项（即指称单一事物的词项，以专名为主）才是真正的主词。

同时又引进了全称量词（“对于任何”）和存在量词（“存在某些”），这样就可以把词项命题的A、E、I、O四类命题写成：SAP（全称肯定）：对于任何x，若x是S，则x是PSEP（全称否定）：对于任何x，若x是S，则并非x是PSIP（特称肯定）：存在x，x是S并且x是PSOP（特称否定）：存在x，x是S并且并非x是P可以看出，在全称命题中，谓词逻辑使用了“若…则…”来改写，在特称命题中，谓词逻辑使用了“并且”来改写。

于是对于全称命题而言，经过谓词逻辑改写之后，有可能谈论其逆否命题（仅仅在派生的意义上）。

比如“所有S是P”写成谓词逻辑形式后，其逆否命题是“对于任何x，若并非x是P，则并非x是S”，再将其反过来写成词项逻辑形式，即“所有非P都是非S”；即： SAP等价于[非P]A[非S]但是“有的S是P”是特称命题，即使在上述派生意义上，也是无法谈论其逆否命题的。 不过回过头来看词项逻辑，里面其实有所谓换质换位推理，从SAP到[非P]A[非S]可以通过先换质，然后换位，然后再换质得到：SAP-->SE[非P]-->[非P]ES-->[非P]E[非S]而从SIP出发是无法得到[非]PO[非]S的，因为SOP不能直接换位。