关于柯西序列不在空间内收敛的问题

在X中收敛即在X中存在极限.

假设存在极限c∈X, 则c作为X中的元素只有有限项非零.

设从c的第K项开始都是0, 对n > K, 考虑x_n-c, 其第K项为1/K, 由范数定义‖x_n-c‖ ≥ 1/K.

即存在ε = 1/K > 0, 对任意N, 总存在n > N使‖x_n-c‖ ≥ ε. 即c不为{x_n}的极限, 矛盾.

不难理解, 这个序列的极限应该是无限项非零的(1,1/2,1/3,...,1/n,...), 它不在X中.